Cálculo Integral

Integración
por Partes

¿Cómo evaluar la integral del producto de dos funciones cuando no existe una antiderivada directa? Fundamentos, método ILATE y resolución de casos paso a paso.

JC Jeison Castillo

JD Junior De la Hoz

EB Esneider Barrozo

¿Qué es la Integración por Partes?

Concepto clave y fundamentos matemáticos

Breve Definición

La integración por partes es el proceso de evaluar la integral del producto de dos funciones. Nace directamente de deshacer la regla del producto de la derivación:

d/dx [u\cdotv] = u' \cdot v + u \cdot v'

Integrando ambos lados y despejando, obtenemos el método para resolver productos de funciones heterogéneas.

Propiedades y Aplicación

Este método es especialmente útil en las siguientes circunstancias:

Productos Heterogéneos

Cuando se multiplican dos familias distintas (ej. polinomio × exponencial).

\int x\cdote x dx

Integrales Únicas

Para funciones que no tienen antiderivada directa como:

\int ln(x) dx • \int arctan(x) dx

Reducción de Potencias

Permite reducir el grado de potencias $x n$ iterativamente.

\int x n \cdote x dx

La Fórmula Maestra

Estrategia infalible para elegir las variables $u$ y $dv$

Fórmula Fundamental

∫ u dv = u · v − ∫ v du

1. Elegir u y dv

Seleccionar según la regla ILATE la función correspondiente para u y el diferencial dv.

2. Derivar u e integrar dv

Obtener du mediante diferenciación de u, y hallar v calculando la integral directa de dv.

3. Sustituir en la fórmula

Reemplazar en $u\cdotv - \int v du$ y resolver la integral restante.

Criterio de Elección: Regla ILATE

Selecciona como u la función que aparezca primero en este orden prioritario:

I

Inversas

arcsin(x), arctan(x)

L

Logarítmicas

ln(x), log₁₀(x)

A

Algebraicas

x, x², 3x+1

T

Trigonométricas

sin(x), cos(x)

E

Exponenciales

eˣ, 2ˣ

Inversas trigonométricas Se elige como u

Tiene la mayor prioridad para asignarse como u. Su derivada es una función algebraica simple, eliminando la función inversa de la integral.

Comparar: ×

Asignación: u = Algebraica | dv = Exponencial dx

¿Cuándo es factible usar Integración por Partes?

Una guía sencilla para reconocer cuándo conviene aplicar este método

Busca estas señales

Considera integración por partes cuando encuentres principalmente:

Un producto de dos funciones: por ejemplo, $x\cdote x$ o $x\cdotsin(x)$ .
Una función que se simplifica al derivarla: como $x 2$ , $x$ o $ln(x)$ .
Una función logarítmica sola: como $\int ln(x)dx$ , que puede verse como $ln(x)\cdot1$ .

Regla rápida para decidir

Hazte esta pregunta antes de comenzar:

¿Hay una multiplicación y una parte se hace más sencilla al derivarla?

Si la respuesta es sí, vale la pena considerar integración por partes.

Ejemplos típicos

\int x\cdote x dx • \int x\cdotsin(x)dx • \int ln(x)dx

En estos casos, la integración por partes puede transformar la integral original en otra más sencilla.

Ejemplo 1: $\int x\cdote x dx$

Algebraica × Exponencial

1

Elección de variables (ILATE)

$x$ es Algebraica (A) y $e x$ es Exponencial (E). Según ILATE, A va antes que E, así que elegimos:

u = x ⟹ du = dx
dv = e^x dx ⟹ v = e^x

2

Aplicación de la fórmula maestra

Sustituimos en $\int u dv = u\cdotv - \int v du$ :

∫x e^x dx =
x·e^x − ∫e^x dx

3

Integración final y resultado

Resolvemos la integral directa restante y agregamos la constante de integración $C$ :

= x·e^x − e^x + C
= e^x(x − 1) + C

Ejemplo 2: $\int ln(x) dx$

Logarítmica Directa

1

Elección de variables

Aunque parece una sola función, la tomamos como el producto de $ln(x)$ por $1\cdotdx$ :

u = ln(x) ⟹ du = (1/x) dx
dv = dx ⟹ v = x

2

Aplicación de la fórmula

Sustituimos en la fórmula principal:

∫ln(x) dx =
x·ln(x) − ∫x·(1/x) dx

3

Simplificación y resultado

Como $x\cdot(1/x) = 1$ , la integral se simplifica a $\int 1 dx$ :

= x·ln(x) − x + C
= x(ln(x) − 1) + C

Ejemplo 3: $\int e x cos(x) dx$

Integral Cíclica — Doble Integración por Partes

1

1. Primera integración por partes

Elegimos u = cos(x) (Trigonométrica) y dv = e^x dx (Exponencial):

u = cos(x) ⟹ du = -sin(x) dx dv = e x dx ⟹ v = e x

\int e x cos(x) dx = e x cos(x) + \int e x sin(x) dx

2

2. Segunda integración por partes

Aplicamos el método por segunda vez a la nueva integral $\int e x sin(x) dx$ :

u = sin(x) ⟹ du = cos(x) dx dv = e x dx ⟹ v = e x

\int e x cos(x) dx = e x cos(x) + e x sin(x) - \int e x cos(x) dx

Ejemplo 3: Despeje Algebraico

Resolución de la integral cíclica original

3

3. Despeje algebraico de la integral original

Sumamos $\int e x cos(x) dx$ a ambos lados de la igualdad:

2 \int e x cos(x) dx = e x cos(x) + e x sin(x)

Dividimos por 2 y agregamos la constante de integración $C$ :

\int e x cos(x) dx = [ e x (cos(x) + sin(x)) ] / 2 + C

Integración por Partes